APLICACIONES DE LA DERIVADA

DERIVADAS DE LOGARITMO NATURAL o logaritmo neperiano


La derivada de el logaritmo natural de una función es igual a la derivada de la función dividida por la función sin derivar:

En algunos ejercicios, antes de derivar se deben tener en cuenta las propiedades:

DERIVADAS DE FUNCIÓN EXPONENCIAL


La derivada de una función exponencial es igual a a la misma función por el exponente derivado, por el logaritmo natural de la base:

---> derivada de función exponencial con base e :
es igual a la misma función por la derivada del exponente


* Ejemplos:
A)  
      
B) 
     

DERIVADA DE ORDEN SUPERIOR


Mientras las derivadas cumplan con ser funciones continuas y que sean derivables, podemos encontrar la n-esima derivada





* Ejemplo:


A)     
         primera derivada      
                 segunda derivada y así hasta la n-esima derivada 


* Aplicación a la física: 

Se tiene una función, entonces para hallar la velocidad se deriva una vez, para hallar la rapidez se deriva la derivada de la función original, es decir, se halla la segunda derivada.



PUNTOS CRÍTICOS


Son aquellos puntos que representan los valores máximos o mínimos en una función.   


1) Hallamos la primera derivada
2) Igualamos a cero la primera derivada y despejamos x


- Máximos y mínimos: (concavidad y convexidad)
1) Hallamos la segunda derivada
2) Obtenemos máximos y mínimos
3) Se determina si es cóncava o convexa:
F´(x) > 0  es cóncava, es decir es un mínimo
F´(x) < 0  es convexa, es decir es un máximo.

- Puntos de inflexión: cambio de sentido de la gráfica

RAZONES DE CAMBIO
Es la medida en que una variable cambia respecto a otra

OPTIMIZACION
Es minimizar o maximizar el valor de una variable, es decir, determinar el valor mínimo o máximo. 

REGLAS DE  DERIVACIÓN


1. Regla de la potencia: se multiplica el coeficiente y el exponente, se pone ese resultado como coeficiente y al exponente se le resta uno. 


2. Regla de una constante: las constantes no se derivan, entonces siempre sera igual a 0.


3. Regla del producto: es igual a la derivada del primer termino multiplicado por el segundo sin derivar y esto sumado al producto del primer termino sin derivar y el segundo derivado.


 f(x) = f(x)* g(x)
 f´(x)= f´(x) * g(x)  +  f(x) * g´(x)




4. Regla del cociente:  Hay una división presente. Es igual a la derivada del primer termino multiplicado por el segundo sin derivar y esto restado al producto del primer termino sin derivar y el segundo derivado. Todo lo anterior sobre el segundo termino al cuadrado.


f(x)= f(x) 
        g(x)
f´(x)= f´(x)* g(x) - f(x)* g´(x) 
                  (g(x)*g(x))
5. Regla de la cadena: Todo se encuentra elevado a una potencia. 

F(x)= (a±b±c)^4                                                   se aplica regla de la potencia

F(x)=4 (a±b±c)^3 (derivada interna)              se multiplica por la derivada interna

F(x)= (4*derivada interna) (a±b±c)             se multiplica el coeficiente por la derivada interna

VIDEOS EXPLICATIVO REGLAS DE DERIVACIÓN:

parte 1

parte 2

VIDEO EJERCICIOS DE REGLAS DE DERIVACION

http://www.youtube.com/watch?v=f_2qsfYvSmY



EJERCICIOS PROPUESTOS:

DERIVACIÓN TRIGONOMÉTRICA

las siguientes son las funciones trigonométricas fundamentales

las siguientes son las funciones trigonometricas en derivadas

Lo que se hace simplemente es reemplazar teniendo en cuenta las funciones trignometricas para derivadas y las reglas de derivación.  Ejemplo:

A)  y= sen x (cos x)                   reemplazamos

   y´= cos x (cos x) + sen x (-sen x)        aplicamos regla del producto

     y´= cos^2 x - sen^2 x             operamos y ya tenemos el resultado.

VIDEO EXPLICATIVO:

http://www.youtube.com/watch?v=8wuVcS83JF0

DERIVACIÓN IMPLÍCITA

Existe una función tal que  y = f (x), se dice que y es una función que está definida implícitamente por la ecuación. Una ecuación en términos de  x y de y.  

 

*Ejemplos:

DERIVADA A PARTIR DEL CONCEPTO DE LIMITE

DEFINICIÓN:

- Tangente: linea notable que corta en un solo punto a la circunferencia
- Pendiente: grado de inclinación de una recta (m).

La derivada es una función que mide la pendiente de la recta tangente en un punto especifico. Sirve para estudiar el crecimiento o decrecimiento de una función, así como su inclinación en los diferentes intervalos en que se puede descomponer. En otras palabras, la derivada determina cuánto esta cambiando el valor de una función en un punto determinado. Si se tiene una función f(x), la derivada se nombrará f´(x).Matemáticamente se define:

Gráficamente, la derivada de una función (f)en un punto (P) es así :

EXPLICACIÓN:

EJERCICIOS PROPUESTOS:

Hallar la derivada de las funciones a partir del concepto de limite